INTRODUZIONE

 

 

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ora sei in "Felix Klein" (1849-1925)

La ragione per cui inserisco un autore come Felix Klein in un sito di psicanalisi è semplice, anche se può sembrare peregrina.

Grazie alla felice convergenza di idee provenienti in parte dall'algebra di Evariste Galois, sui gruppi di permutazioni delle radici di un polinomio, e in parte dalle geometrie multidimensionali di Bernhard Riemann, definite dal tensore di curvatura dello spazio, con Felix Klein la matematica entra irreversibilmente nell'epoca moderna. In un certo senso, Felix Klein segna il compimento della transizione dalla matematica prescientifica di Euclide a quella scientifica posteuclidea, solo abbozzata da Cartesio nella Géométrie. Il passaggio è cruciale. Con Felix Klein la geometria diventa algebrica, cioè si dedica alle simmetrie spaziali. Di cosa si tratta?

In epoca prescientifica si studiano figure diverse all'interno dello stesso spazio. In epoca scientifica si studia come varia la stessa figura, quando venga immersa in spazi diversi. L'esempio paradigmatico è la figura del parallelismo. Il quinto postulato di Euclide afferma che le cose vanno in un solo per due rette tagliate da una trasversale e deduce i teoremi conseguenti: teorema di Talete, teorema di Euclide, teorema di Pitagora ecc. Le geometrie posteuclidee, invece, analizzano come varia la stessa figura, tipicamente la figura del parallelismo, in spazi parabolici (a curvatura costante nulla), ellittici (a curvatura costante positiva), iperbolici (a curvatura costante negativa). Nel primo spazio esiste una sola parallela a una retta data, passante per un punto dato. Nel secondo non esistono parallele. Nel terzo esistono infinite parallele. Conseguentemente si studia come varia lo stesso teorema passando da spazio a spazio, per esempio il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo: che è pari a due retti in spazi parabolici, maggiore di due retti in spazi ellittici, minore di due retti in spazi iperbolici.

La mia speranza è che la lezione magistrale di Felix Klein - anch'io, dopo aver sperimentato tanti falsi maestri, ogni tanto sento il disperato bisogno di maestri veri - possa inspirare qualche frequentatore di questo sito. Chissà che a qualcuno, non ancora deformato da una delle innumerevoli formazioni scolastiche, vendute sul mercato psi, Felix Klein non suggerisca la modalità per passare dalla psicanalisi prescientifica di Freud alla psicanalisi propriamente detta, cioè scientifica (non dico postfreudiana, data la magra figura che hanno fatto i cosiddetti postfreudiani).

Detto in estrema sintesi filosofica, con Felix Klein si passa dall'Uno ai Molti, dal Singolare al Plurale. Si passa dal monoteismo al politeismo anche in geometria. Il dato è evidente. In epoca scientifica si perde, l'Uno. Si perde il padre o si indebolisce la funzione paterna - è portato a credere il lacaniano, a cui hanno picchiato in testa la storiella della fuorclusione del nome del padre dal registro simbolico. Il mito freudiano del parricidio testimonia la stessa transizione, attribuendo rabbinicamente la colpa al figlio.

Si può pensare qualcosa di meglio?

Proviamo.

La geometria di Euclide è la geometria di uno spazio ben determinato, quello piatto, caratterizzato dal postulato delle parallele. Ma, paradossalmente, l'oggetto della geometria euclidea non è lo spazio euclideo, bensì le figure che vi si disegnano. Come gli uomini vivono nel loro ambiente, così dentro lo spazio euclideo abitano figure geometriche, di cui il matematico antico esplorava le proprietà.

Non essendo ancora esplosa la rivoluzione non-euclidea, il filosofo prekleiniano - il più grande dopo Cartesio, Kant - crede che esista una sola geometria - un solo spazio, quello euclideo, appunto - come esiste un solo ambiente vitale - un solo mondo. Ancora oggi, il presupposto dell'unicità del mondo e della categoricità dello spazio è la base del cognitivismo e dei programmi di intelligenza artificiale.

Ebbene, Felix Klein rompe con lo schematismo monadico kantiano. Non esiste Lo spazio. "Dio è morto", direbbe Nietzsche. Purtroppo sopravvivono le sue Chiese, queste sì al plurale e sempre in guerra l'una con l'altra, per rimettere sul trono l'Uno decaduto.

Ma c'è anche un programma di pace per gli uomini di buona volontà. Esistono - cioè, si possono costruire con le nostre mani - oggetti diversi: spazi tra loro differenti e, considerati in sé, consistenti. Il compito infinito del geometra non è contemplare le proprietà delle figure entro un solo spazio, ma esplorare le differenze tra infiniti spazi, realizzati su modelli di laboratorio.

Lasciamo la contemplazione idealistica agli antichi. (L'idealismo platonico, che spesso ha sedotto i matematici, è nato vecchio).

Modernamente il geometra, gettata alle ortiche la veste del teologo, diventa un artigiano.

Tornando terra terra, il programma di Felix Klein generalizza e riproduce in astratto il percorso concretamente relizzato dal contemporaneo Cantor (1845-1918), che dall'infinito unico degli antichi - indeterminato presso i Greci e assoluto presso i Medievali - passò ai molteplici infiniti ordinali e cardinali, da lui chiamati numeri transfiniti.

Ma come si affronta la pluralità degli spazi?

E' questa l'innovazione kleinania, che sarà ampliamente sviluppata da Poincaré nella sua Analysis situs, e diventerà di routine ai nostri giorni.

Uno spazio geometrico è caratterizzato dal suo gruppo di simmetria.

Con il corollario:

Tanti gruppi di simmetria, tanti spazi.

Gli spazi si studiano astrattamente - "astratto" non è una parolaccia - attraverso i loro gruppi di simmetria.

Tento di spiegarmi meglio, perché la cosa è delicata e può sfuggire a chi sia abituato a cercare le essenze delle cose, non accontentandosi della loro estensione. E di fatto sfuggì anche al grande Heidegger nella sua conferenza Erker di St. Gallen del 3 ottobre 1964. Allora "il pastore dell'essere" affermava che "dietro lo spazio, a quanto pare, non vi è nulla cui possa essere ricondotto" (Martin Heidegger, L'arte e lo spazio, trad. C. Angelino, Il melangolo, Genova 1979, p. 23). E' chiaro l'errore di Heidegger: cerca l'essenza dello spazio. Che non esiste, perchè lo spazio non è uno ma molteplice. Dietro ogni spazio c'è il gruppo delle sue simmetrie. Ogni spazio ha le sue simmetrie. (In realtà, quello di Heidegger non è un errore. E' la vecchia concezione prescientifica di Aristotele che il fenomenologo ricicla).

All'orecchio umanistico la parola "simmetria" suona sinistra. L'umanista non ragiona. Segue il canto sirenico delle etimologie, che spesso lo fuorviano. "Simmetria" è parola greca che deriva da sun + metria, cioè con + distanza. Ci risiamo con il discorso quantitativo, caratteristico della scienza positivista, pensa l'umanista. (L'umanista crede di avere un pensiero, poiché pensa). Due punti sono simmetrici rispetto a un centro di simmetria, se hanno uguale distanza da esso, mi hanno insegnato a scuola. (L'umanista ha sempre una scuola dietro alle spalle, un fardello che si porta dietro come il Cireneo la croce dell'altro). Sono simmetrici rispetto al centro i punti di una circonferenza. O no?

Oh, sì! Ma la simmetria non è solo un fatto quantitativo, mio caro umanista. La simmetria è prima di tutto un fatto qualitativo, di cui l'aspetto quantitativo è solo una conseguenza.

?

Proprio così. Ti devi abituare, mio caro umanista, al senso debole che le parole assumono in matematica. Non devi sovraccaricarle di significati, come ti hanno insegnato a scuola, per esempio, per commentare una poesia. Devi semmai spogliarle di senso. Devi fare una sorta di Anti-Verdichtung o ipodeterminazione. Sta a vedere come faccio io.

Una simmetria è una trasformazione reversibile dello spazio.

?

Proprio così.

Considera un triangolo.

Anche tu te la fai con le figure, adesso? Poco fa dicevi che le figure sono anticaglie.

Per dire che considero uno spazio triangolare.

ABC, come a scuola?

Proprio così. ABC, come a scuola, se ti senti più tranquillo con un abeccedario scolastico sulle ginocchia.

Una simmetria è una trasformazione dello spazio in se stesso. Ce ne sono tante. Una, per esempio, è la trasformazione ciclica che porta A in B, B in C e C in A. Se disegni un triangolo equilatero su un foglio, la trasformazione in oggetto trasforma il tringolo in se stesso attraverso una rotazione di 60 gradi. Dopo la trasformazione il triangolo è materialmente indistinguibile da prima. Sono solo cambiati i nomi dei vertici. E' cambiato simbolicamente, ma non ne è cambiata l'essenza, direbbe il Simplicius fenomenologico, che non pensa extensive ma intensive. Non è questo l'importante. L'importante è che la trasformazione di simmetria sia reversibile. Se applichi la trasformazione che porta B in A, C in B e A in C, ottieni lo spazio triangolare nella posizione di partenza. Il matematico dice che hai applicato la trasformazione inversa.

Ciò dovrebbe farti intravedere la struttura.

L'insieme delle simmetrie forma quel che i sistematori del pensiero di Galois (tra gli italiani il nostro Luigi Bianchi), lavorando per un secolo dopo la sua morte assurda, hanno chiamato

gruppo.

Un gruppo è un insieme dotato di una struttura algebrica.

Possiede, cioè, un'operazione interna - puoi chiamarla indifferentemente somma o moltiplicazione - che a due elementi ne associa un terzo, il risultato.

Nel caso spaziale l'operazione di gruppo è la concatenazione delle trasformazioni. Una trasformazione eseguita dopo un'altra è ancora una trasformazione. Questa terza trasformazione è il risultato delle due trasformazioni di partenza, eseguite in successione.

L'operazione di gruppo possiede alcune caratteristiche specifiche:

è associativa e possiede un'inversa (come hai visto). Esiste anche l'operazione identica, inversa di se stessa, che lascia le cose come stanno. Infine, l'operazione gruppale non è necessariamente commutativa. L'ordine in cui si succedono le trasformazioni è importante. In generale, la trasformazione alfa.beta è diversa da beta.alfa. Nel caso del triangolo equilatero un rotazione seguita da un ribaltamento è in generale diversa dal ribaltamento seguito da una rotazione.

Così strutturato, l'insieme delle trasformazioni di uno spazio forma il gruppo delle sue simmetrie.

Il punto innovativo è:

studia il gruppo delle simmetrie dello spazio e ne saprai molto - non necessariamente tutto - sullo spazio.

Nel linguaggio di Felix Klein una geometria è una struttura definita implicitamente, prima che da operazioni di misura, da un gruppo di trasformazioni. Nel senso di Klein una geometria è ciò che resta invariante (o si trasforma in se stesso) comunque lo si trasformi tramite le simmetrie del gruppo dato.

Sembra un discorso astratto. Ma il fisico mi conferma che è un discorso massimamente concreto Se sono presenti delle simmetrie, si producono necessariamente degli invarianti, cioè delle condizioni sperimentalmente osservabili. Se la simmetria è una traslazione nel tempo, l'invariante è l'energia. Se la simmetria è una traslazione nello spazio, gli invarianti sono le quantità di moto. Se la simmetria è una rotazione nello spazio, gli invarianti sono i momenti angolari. Tutto ciò è garantito dal teorema di Emmy Noether (sì, una donna! Ma aveva un padre, professore di matematica, che l'amava... più della matematica).

I fisici ormai hanno assimilato il discorso di Felix Klein. Dopo Galilei le simmetrie dello spazio sono le traslazioni a velocità costante o trasformazioni inerziali. Gli invarianti sono le leggi della meccanica, F = ma e altre, che si scrivono allo stesso modo in ogni sistema di riferimento inerziale. Si chiama principio di relatività di Galilei. (Dopo Einstein ne esistono altri, che arrichiscono le simmetrie ammesse dalla fisica).

Smetto di titillare l'affascinante argomento, perché sto scivolando nel quantitativo, e sento già le oche fenomenologiche strillare: "Positivista, positivista!..." Quando mai le oche fenomenologiche, invece di strillare, si dedicheranno a compiti più scientifici, per esempio pensare agli invarianti del discorso psicanalitico?

(Noterella filosofica. Capisco che questa definizione di struttura attraverso le simmetrie sembri estrinseca. Infatti, è data dall'esterno, mediante operatori - le simmetrie - che agiscono su un insieme ma non appartengono all'insieme. La classe dei morfismi di un insieme non appartiene all'insieme come la classe delle rotazioni delle spazio non è formata da punti dello spazio. Per questa ragione la definizione kleiniana di struttura non è essenzialistica (varia con la classe dei morfismi) e può non soddisfare i palati filosofici, che all'epoca dello strutturalismo hanno a lungo masticato la nozione di struttura come equivalente di essenza.)

A chi non bastassero questi scarni accenni, ma volesse penetrare l'"essenza" della nozione di gruppo di simmetria, ripercorrendo la sua breve storia, segnalo un buon libro divulgativo - raramente i matematici sono buoni storici, proprio perchè non si curano delle "essenze" - Mario Livio, L'equazione impossibile. Come un genio della matematica ha scoperto il linguaggio della simmetria (2005), trad. S. Beltrame, E. Cervini e A. Zucchetti, Milano, Rizzoli 2005.

Ho parlato di quantità?

No. Mi hai convinto. Ma che ci azzecca l'algebra con la psicanalisi?

Ci sono due ragioni per cui la psicanalisi ci azzecca con l'algebra. Vagamente le intuì anche quel fenomenologo di Lacan.

La psicanalisi ha a che fare con simmetrie: le identificazioni, le introiezioni, le proiezioni, le incorporazioni sono simmetrie. Anche le simmetrie psicanalitiche hanno i loro invarianti. Hanno nomi antropomorfi, a volte poetici - eterna ripetizione dell'identico - a volte no - ritorno del rimosso o pulsione come forza costante.

Lo stadio dello specchio introduce una simmetria tra l'io e l'altro, tra destra e sinistra.

Bravo!

Le simmetrie, come ormai sappiamo, sono trattabili algebricamente. Ma finora non abbiamo una teoria algebrica soddisfacente delle simmetrie psichiche. E' questo il lavoro da fare. Il nostro compito infinito. Pensa che non sappiamo ancora classificare le infinite varietà topologiche tridimensionali. I cosmologi sono nell'imbarazzo. Non sanno che forma attribuire all'Universo e i matematici non li aiutano. Perciò ho deciso di riportare nel sito un testo non tecnico di Felix Klein, rivolto a non addetti: il cosiddetto Programma di Erlangen, letto nel 1872 quando a soli 23 si insediò all'università di Erlangen. L'ho scelto perchè tratta proprio dei gruppi di simmetria dello spazio

senza troppe formule.

(Vi conosco, voi umanisti. In redazione di "aut aut" mi avete censurato la seconda parte della tesi di von Neumann sull'assiomatizzazione della teoria degli insiemi, da me e dall'ingegner Angelini faticosamente tradotta dal tedesco, perchè conteneva troppe formule. Siete dei bei tipi, voi umanisti. Da scansare. Siccome non le capite, le formule non esistono. Ma per voi esiste solo quel che capite voi? Siete più cartesiani di me, allora? L'essere dipende dal vostro sapere?)

La seconda ragione, che l'umanista non è portato ad apprezzare, è che l'algebra introduce in topologia un calcolo. Il calcolo è visto dalla cultura umanistica come qualcosa di meccanico, cioè di riduttivo. All'umanista sfugge il valore di semplificazione del calcolo. Il calcolo semplifica ed è semplice. (I risultati, però, possono essere complessi). Si può affidare a un computer, lasciando il matematico libero di congetturare sulle proprietà metacalcolistiche del calcolo.

Inoltre il calcolo moderno è sempre incompleto. Ciò lascia altro spazio per (errare e/o) congetturare, cioè per fare vera matematica (che è sempre metamatematica).

Un esempio famoso. Poincarè inventò un gruppo di simmetrie, chiamato gruppo di omotopia. E' il gruppo dei cappi che si possono disegnare nello spazio a partire da un punto. Alcuni cappi si possono contrarre in un punto, altri no. Per esempio sulla sfera tutti i cappi si possono ridurre a un punto. Il gruppo fondamentale si riduce a un solo elemento: l'identità.

Congettura: Se hai una sfera. allora il gruppo fondamentale si riduce all'identità. Ma vale il viceversa? Se il gruppo si riduce all'identità, sei sicuro di avere una sfera?

Sappiamo come rispose Poincaré. Sto traducendo gli articoli topologici di Poincaré. Prima o poi potrai saperlo anche tu. Nell'attesa puoi leggere un buon libro di alta divulgazione: Donal O'Shea, La congettura di Poincaré, trad. D. Didero, Rizzoli, Milano 2007.

Detto questo, credo di aver giustificato l'introduzione di una pagina su Felix Klein in un sito di psicanalisi. Per aumentare le probabilità che qualcuno nel mondo legga il suo contributo non euclideo, riporto il testo di Felix Klein sulle simmetrie in italiano, francese (prima parte, seconda parte), tedesco e inglese.

Avverto, però, che si tratta un testo difficile - primo - perché Felix Klein scrive in modo non lineare e spesso implicito (a volte addirittura con errori), - secondo - perché l'autore si trova a fronteggiare una nozione nuova e ai tempi difficile da padroneggiare. Si tratta del concetto di struttura come coppia di due insiemi: l'insieme sostegno della struttura e l'insieme degli (epi)morfismi, che trasformano l'insieme sostegno in se stesso, alla condizione di lasciare alcuni sottoinsiemi di punti uguali a se stessi (invarianti).

Io stesso presenterò al seminario di Asciano la definizione kleiniana di spazio topologico come coppia di insiemi: un insieme sostegno e la famiglia caratteristica degli aperti. Gli aperti sono gli invarianti rispetto agli omeomorfismi, cioè alle trasformazioni biunivoche e bicontinue.

Resta da giustificare in che misura la ripresa del discorso strutturale - non quello strutturalistico - possa servire a una psicanalisi scientifica. Il mio suggerimento è semplice. Gli spazi sono oggetti (della matematica moderna). Gli oggetti sono spazi (della psicanalisi). La nozione kleiniana di struttura come insieme di trasformazioni dello spazio si traduce in psicanalisi, sostituendo a spazio oggetto. In psicanalisi la struttura è l'insieme delle trasformazioni dell'oggetto. Con Klein mi chiedo: "Che cosa dell'oggetto del desiderio lasciano invariato le trasformazioni strutturali?". Non so rispondere categoricamente. Presumo certe configurazioni identificatorie e/o superegoiche. Ma la cosa è ancora da approfondire. Qui indico alcune condizioni preliminari affinché l'approfondimento risulti scientifico (per esempio, per via dei gruppi di simmetria).

Tutto ciò premesso, chissà che a qualcuno il testo di Klein non suggerisca qualcosa di pertinente a una possibile psicanalisi scientifica e poi sia così gentile da comunicarmelo.

Adesso puoi tornare alla home. Io continuo in un'altra pagina l'argomento delle simmetrie qualitative. Mi acchiappa troppo.

 

egion4